マイナンバー制度の個人番号や法人番号を記載していない申告書等を税務署に提出した場合、税務署は受け付けてくれないのでしょうか？ 　 また、記載のない申告書等を提出した場合、何か罰則等はあるのでしょうか？

個人番号や法人番号の記載のない申告書を提出した場合でも、税務署は受理します。
また、記載のないことについて現在は、税法上特に罰則規定は設けていません。

従業員や法定調書提出義務者の方から、マイナンバー制度の個人番号の記載を拒否された場合、どのように対処すればよいでしょうか？

番号法整備法（平成26年5月公布）や税法の政省令（平成26年7月公布）等により、記載が義務化されたこと説明したうえで、本人を説得するしかないのですが、それでも拒否される場合には、本人とのメールや会話のやりとりを保管・記録し、税務署等に説明するしかないと思われます。

マイナンバー制度の扶養控除等申告書の記載の個人番号については、確認する必要がありますか？

個人番号については、通知カード・個人番号カードで必ず確認する必要があります。
ただし、経理・人事担当者や経営者の方が対面にて本人が確認できる場合には、身元証明は不要となります。

また、配偶者や家族の方の個人番号の確認は、給与受給者本人がすることになっていますので不要です。

マイナンバー制度の扶養控除等申告書・確定申告書に記載する個人番号は、本人だけでいいのでしょうか？

いいえ、本人だけでなく、控除対象となる配偶者・扶養親族・青色事業専従者給与者も含まれます。

マイナンバー制度の扶養控除等申告書への個人番号の記載はいつからですか？

本来は、平成28年分の扶養控除等申告書からなのですが、平成27年分の年末調整のために、従業員の方が平成27年中に平成28年分の扶養控除等申告書を提出する場合には、記載の義務はないようです。

ただし、給与支払者（事業主・会社）の方が、記載を求めるのは違反では
ありません。

現実問題、平成27年10月1日以降個人番号の通知が始まるわけですから、
翌年平成28年の年末調整時に提出を従業員の方に求めるより、平成27年中に記載を求めていた方が、紛失者の方への対応を1年間できるのではないかと思われます。